Las integrales impropias con límites infinitos son un tema que muchos estudiantes encuentran confuso al principio, pero la clave está en entender que se resuelven usando límites. No es magia, simplemente reemplazas el infinito por una variable y luego calculas el límite cuando esa variable tiende a infinito.
Empecemos con el caso más básico: una integral de la forma de menos infinito a un número, o de un número a infinito. Por ejemplo, si tienes la integral desde 1 hasta infinito de 1 dividido entre x al cuadrado, dx. Lo que haces es reescribir esto como el límite cuando b tiende a infinito de la integral desde 1 hasta b de 1 entre x cuadrado dx. Calculás la antiderivada normalmente, que es menos 1 entre x, evaluás desde 1 hasta b, y luego calculas el límite. Cuando b tiende a infinito, menos 1 entre b tiende a cero, así que te queda cero menos (menos 1), que es 1. La integral converge.
Cuando tienes ambos límites infinitos, por ejemplo desde menos infinito hasta infinito, necesitas dividir la integral en dos partes usando un punto intermedio que elijas, generalmente cero. Entonces calculas la integral desde menos infinito hasta cero más la integral desde cero hasta infinito. Ambas deben converger para que la integral completa converja.
Un punto importante para saber si algo converge tiene que ver con el comportamiento del integrando. Si integras 1 entre x elevado a la p desde 1 hasta infinito, esto converge si p es mayor que 1, y diverge si p es menor o igual a 1. Este es un resultado que vale la pena memorizar porque aparece todo el tiempo.
Cuando evalúas los límites, sé cuidadoso con los signos y recuerda que si el límite no existe o es infinito, entonces la integral diverge. También es posible que una integral diverja a infinito positivo o negativo.
Una estrategia útil es graficar mentalmente el integrando para ver si tiene sentido que converja o diverja. Si la función decrece muy rápido hacia cero, probablemente converja. Si se mantiene grande o decrece lentamente, probablemente diverja.
