Calcular límites cuando las funciones tienden al infinito requiere entender el comportamiento de las expresiones matemáticas cuando la variable crece indefinidamente. El método principal consiste en identificar qué términos dominan la función y descartar aquellos que se vuelven insignificantes.
Para funciones racionales, donde tienes un cociente de polinomios, comparas las potencias del numerador y denominador. Si tienes por ejemplo el límite de (3x² + 5x - 7) dividido por (2x² - 4) cuando x tiende a infinito, divides todos los términos por x², que es la mayor potencia presente. Obtienes (3 + 5/x - 7/x²) dividido por (2 - 4/x²). Cuando x crece, los términos 5/x, 7/x² y 4/x² se acercan a cero, dejándote con 3/2 como resultado final.
Tres casos principales aparecen en funciones racionales: si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es cero porque el denominador crece más rápido. Si ambos grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales, como vimos con 3/2 en el ejemplo anterior. Si el numerador tiene mayor grado, el límite es infinito positivo o negativo según los signos.
Para funciones con raíces cuadradas, multiplicas por el conjugado cuando enfrentas indeterminaciones. En el límite de √(x² + 3x) - x cuando x tiende a infinito, multiplicas y divides por √(x² + 3x) + x. Esto te da (x² + 3x - x²) dividido por (√(x² + 3x) + x), que simplifica a 3x dividido por esa suma. Dividiendo por x obtienes 3/(√(1 + 3/x) + 1), que resulta en 3/2 cuando x crece.
Las funciones exponenciales dominan sobre polinomios. Si tienes e^x dividido por x³ cuando x tiende a infinito, el límite es infinito porque las exponenciales crecen muchísimo más rápido que cualquier polinomio. Por el contrario, x⁵ dividido por e^x tiende a cero.
Para logaritmos, recuerda que crecen más lento que cualquier potencia de x. El límite de ln(x)/x cuando x tiende a infinito es cero.
Un truco útil: cuando todos los términos son positivos y tiendes a infinito, puedes pensar físicamente en qué crece más rápido. Las exponenciales ganan a los polinomios, los polinomios ganan a los logaritmos, y dentro de los polinomios, las mayores potencias dominan siempre.
